Análisis Combinatorio

Análisis Combinatorio
El arte de contar “La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.” Introducción a la combinatoria Ian Anderson “La tercera prioridad de la campaña es dar la primera prioridad a la enseñanza.” Web oficial de George W. Bush

El papiro Rhind (problema 79)
En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind compró en Luxor (Egipto) el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 antes de nuestra era. Comienza con la frase: “Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios.” El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia antigua conocida.

El papiro Rhind (problema 79)
Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria. Veamos una versión “moderna”...

Se aplica en procesos de conteo susceptibles de ser divididos en casos
Principio de la suma Una actividad puede realizarse de distintas maneras que son mutuamente excluyentes, es decir, que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si de una manera se puede hacer de n formas y de otra, de m formas, entonces hay m+n maneras distintas de realizar la actividad. A B m formas k formas n formas Hay k + m + n posibilidades de ir desde A hasta B, de tres maneras distintas Se aplica en procesos de conteo susceptibles de ser divididos en casos

Hay m * n posibilidades de ir desde A hasta B
Principio de la multiplicación Si una actividad puede realizarse en dos pasos sucesivos (debe ocurrir uno y después el otro) de manera tal que el paso 1 se realiza de n maneras y el paso 2 de m maneras, entonces la actividad puede realizarse de m*n maneras distintas. A B m formas n formas Hay m * n posibilidades de ir desde A hasta B

Aplicaciones del Principio de multiplicación

Principio multiplicativo (ilustración gráfica)
b1 b2 b3 c1 c2 El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2. El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1 y c2. El total de posibilidades será: = 12

Alfabeto Braille ¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?

Aplicación en la música
Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n, entonces la realización de ambas tiene m x n. Mozart compuso un vals con 11 posibilidades distintas para 14 de los 16 compases y 2 posibilidades para cada uno de los restantes. ¿Se habrán llegado a escuchar alguna vez todas las realizaciones posibles?

¿De cuántas formas se pueden escoger dos fichas de
dominó de las 28 que hay, teniendo en cuenta el orden, y de forma que se puedan aplicar una a la otra (es decir, de modo que se encuentre el mismo número de tantos en ambas fichas)?

Escojamos la primera ficha. Esto se puede
hacer de 28 maneras: En 7 casos la ficha elegida será un “doble”, es decir, tendrá la forma 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66. Y en 21 casos será una ficha con distinto número de tantos. Por ejemplo 05, 13, 46, etc. En el primer caso (ficha doble), la segunda ficha se puede elegir de 6 maneras. Por ejemplo, si en el primer paso fue elegida la ficha 11. En el segundo se puede tomar una de las fichas 10, 12, 13, 14, 15 o 16.

En el segundo caso, la segunda ficha se puede
escoger de 12 maneras. Por ejemplo para la ficha 35 servirán las 03, 13, 23, 33, 43, 63, 50, 51, 52, 54, 55, 56. Según la regla del producto, en el primer caso obtenemos 7 x 6 = 42 elecciones, y en el segundo, 21 x 12 = 252. Así que en total tendremos = 294 formas.

1 3 2 6 4 7 5 ¿Cuántas fotografías distintas podemos hacer cambiando a
los personajes de posición? ¿Cuántas permutaciones son posibles? 1 3 2 6 4 7 5

Ejemplo de Aplicación Conjunta:
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de A hasta B? Hay 3 caminos distintos para ir desde A hasta B sin pasar por C Primer caso: Sin pasar por C A C B Hay 4*3 = 12 caminos distintos para ir desde A hasta B, pasando por C Segundo caso: Pasando por C A C B Hay = 15 caminos distintos para ir desde A hasta B

Permutaciones (sin repetición)
Dados n objetos distintos, llamamos permutación a una ordenación particular de los n objetos en una fila. Ejemplo: Hay 6 posibles permutaciones con las tres letras a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba. El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados todos a la vez es n! (se lee “n factorial” o “factorial de n”). Usando la regla del producto: hay n posibles objetos para la primera plaza de la fila, n-1 objetos posibles para ocupar la segunda, etc...

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa.
Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar? Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos: {D, I, S, C, O}, que no están repetidos. El cálculo del número de permutaciones “n!” se cree que apareció por primera vez en la India. Se tiene constancia de ejemplos del año 300 antes de nuestra era. En el siglo XI la "fórmula general" era bien conocida en la India y los países árabes.

Existencia de infinitos números primos
Podemos encontrar uno de los primeras aplicaciones del factorial en una prueba de Euclides de la existencia de infinitos números primos. Euclides argumentaba que siempre existe al menos un primo entre n y (n! + 1) de la siguiente manera: (a) n! y (n! + 1) no tienen factores comunes. (b) O bien (n! + 1) es primo o bien es factorizable: (b.1) Si (n! + 1) es primo queda demostrada la afirmación. (b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse en factores, por (a) ninguno de ellos puede dividir a n!. De modo que cualquier factor de (n! + 1) estará entre n y (n! + 1). (b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmación. (b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento (b.2), será mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta encontrar finalmente un primo mayor que n.

Explosión combinatoria
¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas? El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067. Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un enorme número, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × 1023.

Fórmula de Stirling James Stirling presentó su fórmula en “Methodus Differentialis” publicado en 1730. La demostración de la fórmula de Stirling puede encontrarse en la mayoría de textos de análisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximación usando el programa StirlingApproximations, que imprime: (a) n!, (b) la aproximación de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximación es asintótica. A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición.

Supongamos que los siete personajes de Star Treck se hacen
fotografías en fila en todas las permutaciones posibles. ¿En cuántos casos Data y Picard aparecen juntos? Pensemos que Data y Picard son siameses o que van dentro de un saco. El número de posibles fotografías sería entonces de: 6! = 720. Pero además, para cada una de esas fotografías, Data puede estar a la derecha o a la izquierda de Picard. Luego el resultado es: 2· 6! = 1440.

Varias personas se sientan a una mesa redonda
Varias personas se sientan a una mesa redonda. Consideraremos que dos formas de sentarse coinciden si cada persona tiene los mismos vecinos en ambos lados. ¿De cuántos modos diferentes se pueden sentar 4 personas? ¿Y 7? ¿Y n? (1) La relación de vecindad se conserva en las permutaciones cíclicas y en caso de una simetría. En el caso de 4 personas, tendremos 4 permutaciones cíclicas y una simetría especular para cada una: 2 x 4 = 8 transformaciones que conserven la relación de vecindad.

Como el número total de permutaciones de 4 personas es
Permutaciones cíclicas Espejo Permutaciones simétricas Como el número total de permutaciones de 4 personas es igual a 4! = 24, tendremos 24 / 8 = 3 formas distintas de sentarse.

(2) Si hay 7 personas alrededor de la mesa, tendremos
7! / (7 x 2) = 360 modos. (3) Y, en general, en el caso de n personas: n! / (n x 2) formas.

En una reunión deben intervenir 5 personas: A, B, C, D y E.
¿De cuántas maneras se pueden distribuir en la lista de oradores, con la condición de que B no debe intervenir antes que A? El número total de posibles listas de oradores distintas es 5!. Podemos asociar a cada permutación del tipo: (...A...B...) la misma permutando (...B...A...). Esta última no nos vale. De modo que por cada par hay sólo una manera que satisface la condición planteada. Tendremos 5! / 2 = 60 maneras.

El mismo problema, pero con la condición de que A deba
intervenir inmediatamente antes que B. Si A interviene inmediatamente antes que B, podemos considerarlos como si fuesen un solo orador. Es decir, ahora sólo contamos las permutaciones tipo: ...AB... Tendremos entonces: 4! = 24 formas.

Emparejamientos Dados 2n objetos distintos, ¿cuántas maneras
hay de formar n parejas? Intentemos agrupar los 2n objetos usando n pares de paréntesis: ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) Hay 2n espacios vacíos y 2n objetos, luego los podemos colocar de (2n)! maneras distintas. Pero para cada paréntesis tenemos 2! = 2 ordenaciones posibles que han de contarse como una sola (dan lugar al mismo par), debemos dividir entre 2 · 2 · ... · 2 = 2n.

El orden en que hemos colocado los paréntesis
tampoco nos importa, y como hay n! maneras distintas de hacerlo, cada emparejamiento posible ha sido obtenido de hecho n! veces. Entonces el número de parejas distintas es:

Generalicemos el problema: dados m·n objetos,
¿cuántas maneras hay de formar n conjuntos de m objetos? Agrupemos los m·n objetos usando n paréntesis: ( , , ... , ) ( , , ... , ) ( , , ... , ) ... (, , ... , ) Hay m·n espacios vacíos y m·n objetos, luego los podemos colocar de (m·n)! maneras distintas. Pero para cada paréntesis tenemos m! ordenaciones posibles que han de contarse como una sola (dan lugar a la misma m-terna ). Luego hemos de dividir entre m! · m! · ... · m! = (m!)n.

El orden en que hemos colocado los paréntesis
tampoco nos importa, y como hay n! maneras distintas de hacerlo, cada emparejamiento posible ha sido obtenido de hecho n! veces. Entonces el número de maneras es:

Variaciones (sin repetición)
Un comentarista deportivo español (o sea, de fútbol) pedía en antena que, para conseguir el equipo ideal de entre sus 20 jugadores, un entrenador probara todas las posibilidades para dar con el 10 ideal (el portero lo daba por indiscutible). ¿Le daría tiempo en una liga?

Variaciones (sin repetición)
Según la regla del producto, las maneras de escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, será igual al producto de: Esta expresión se conoce como variaciones de n elementos tomados de r en r, y se representa por Vn,r. Habitualmente se expresa como: En el problema anterior:

¿Cuantos números de tres cifras distintas y significativas
se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Y si admitimos el 0? Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse. Si admitimos el 0, como primera opción seguimos teniendo 9 números, pero ahora como segundo número podemos usar también el 0, luego tenemos 9 posibles candidatos...:

Variaciones con repetición
Raymond Queneau escribió el libro de poemas llamado “Cent mille milliards de poèmes”. Una obra de poesía combinatoria. Constaba de 10 páginas. En cada página aparecía un soneto. Cada soneto está formado por 14 versos. Según Queneau es posible escoger como primer verso cualquiera de los primeros versos de los 10 sonetos originales, como segundo verso, el segundo verso de cualquiera de los 10 sonetos originales y así sucesivamente hasta el verso 14. Y el soneto resultante tiene sentido. ¿Hace justicia el título al libro?

Variaciones con repetición
Según la regla del producto, las maneras de escoger r elementos de entre un total de n según un determinado orden, y con la posibilidad de repetir los elementos en cada elección, son: Esta expresión se conoce como variaciones con repetición y se representa como: Se lee: “variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r”.

¿Cuantos números de tres cifras significativas se pueden
formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Y si admitimos el 0? Al tratarse de números el orden importa y además nos dice que las "cifras se pueden repetir”: Si admitimos el 0, como primera opción seguimos teniendo 9 números. Pero ahora como segundo número podemos usar también el 0, luego tenemos 10 posibles candidatos e ídem para el tercero:

Combinaciones (sin repetición)
¿Cuántas posibles combinados de dos bebidas podemos hacer con ginebra, vodka y tequila? Si el orden importara tendríamos 3 · 2 = 6. Pero en realidad: (g, v) = (v, g), (g, t) = (t, g) y (t, v) = (v, t), porque el orden no importa. De modo que debemos dividir entre 2: / 2 = 3. ¿Cuántas posibles combinados de tres bebidas podemos hacer con ginebra, vodka, tequila y ron? De nuevo, si el orden importara tendríamos 4 · 3 · 2 = 24. Pero en realidad: (g, v, t) = (g, t, v) = (v, g, t) = etc..., porque el orden no importa. De modo que debemos dividir entre 3!: / 3! = 4.

Combinaciones (sin repetición)
¿Cuántas posibles configuraciones de r elementos podemos construir desde un conjunto de n elementos diferentes, sin que importe el orden y no sea posible la repetición? Si el orden importara tendríamos n · (n-1) ·.....· (n - r + 1) posibilidades. Las podemos partir en clases, de forma que en cada clase estén aquellas configuraciones que sean la misma salvo el orden. Como hemos escogido r elementos, cada clase estará formada por las r! formas distintas de ordenar esos elementos.

Este número se conoce como las combinaciones de n elementos tomadas de k en k y se denota por:
Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los 30 alumnos de una clase. (Un grupo es distinto si se diferencia por lo menos en un alumno). No importa el orden. No puede haber dos alumnos iguales (no hay clones) en un grupo, luego no hay repetición.

¿Cuántas manos distintas pueden darse a 4
jugadores con 5 cartas cada uno y una baraja de 52 cartas? (Intenta primero una respuesta a ojo). El primer jugador puede recibir C(52, 5) manos distintas. Una vez el primer jugador tiene su mano el segundo puede recibir C(47, 5) manos distintas (5 cartas de las 47 restantes). El tercero: C(42, 5) y el cuarto: C(37, 5). Por la regla del producto tendremos un total de:

¿De cuántas maneras distintas podemos pintar una tira de cinco casillas, pintando 2 de rojo y 3 de azul? Respuesta: Combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2. O de 5 elementos tomados de 3 en 3: C(5,2) = C(5,3) = 10.

Cine ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde hogar a cine? (Cada movimiento debe acercarnos al cine). Hogar, dulce hogar Cualquier posible recorrido consiste en 8 movimientos a la derecha (1) y 4 movimientos hacia arriba (0). La solución es, por tanto:

El triángulo de Pascal (o de Tartaglia)
Ejemplo: para generar el 5º elemento en la fila #7, sumamos el 4º y 5º elemento en la fila #6.

Números combinatorios
Fila 5, posición 2: Fila 10, posición 7:

Identidad de Pascal

Demostrar la identidad de Pascal:
Demostración:

La suma de fila enésima es el
número total de subconjuntos posibles de un conjunto de n elementos = 2n Fila 5:

.... 1 2 3 4 5 6 7 8 .... N 2N .... .... .... .... .... ....

Imaginemos una bola cayendo por el triángulo de Pascal.
Cada fila que baja puede caer hacia la derecha o hacia la izquierda. ¿Cuántos posibles caminos nos llevan a la posición 2 de la fila 7? Respuesta: ¿Por qué? Imaginemos que la bola va siempre a la izquierda, 7 veces a la izquierda. Acabaremos en la posición 0 de la fila 7. Si va 5 veces a la izquierda y 2 a la derecha, independientemente del orden en que lo haga, acabará en la posición 2 de la fila 7.

(1) La buena de la señora Evita Gastos pretendía
pasar de largo junto a la máquina de chicles de bola sin que sus gemelitos se dieran cuenta. Primer gemelo: ¡Mamá yo quiero un chicle! Segundo gemelo: ¡Mamá, yo también. Y lo quiero del mismo color que el de Toñito!

"El peor de los casos posibles."
La máquina, tiene chicles de bola de color rojo y verde. Cada chicle cuesta 1 euro. No hay forma de saber el color de la próxima bola. Si la Sra. Gastos quiere estar segura de sacar dos bolas iguales, ¿cuántos euros tiene que estar dispuesta a gastar? "El peor de los casos posibles."

(2) Supongamos ahora que la máquina contiene
6 bolas rojas, 4 verdes y 5 azules. ¿Cuántas monedas necesita la señora Evita Gastos para estar segura de conseguir dos bolas iguales? Generaliza a n conjuntos de bolas, donde cada conjunto es de un color. El peor de los casos posibles. + 1 n n+1

(3) Ahora pasa por delante de la máquina la
señora Bolsaprieta con sus trillizos. La máquina contiene ahora 6 bolas rojas, 4 verdes y 1 azul. ¿Cuántas monedas necesita la señora para estar segura de conseguir tres bolas iguales?

Podríamos haber atacado el problema en forma
bruta. Asignando a cada bola una letra y examinando cada una de las: posibles extracciones para determinar cuál presenta una secuencia inicial máxima antes de que aparezcan 3 bolas idénticas. La idea “¡ajá!” consiste en establecer el caso más “desfavorable”. ¡Ajá!, Martin Gardner

Prueba ahora con este: En una misma caja hay 10 pares
de calcetines rojos y 10 pares verdes, y en otra caja hay 10 pares de guantes de color rojos y otros tantos pares verdes.¿Cuántos calcetines y guantes es necesario sacar como máximo al azar (pero con la mejor estrategia) de cada caja, para estar seguro de conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color? CR CV (CR o CV) GRd GRd GRd GRd GRd GVi GVi GVi GVi GVi (GRi o GVd) CR+GVd GVd GVd GVd GVd CRi Si seguimos sacando calcetines podemos sacar hasta 8 rojos más.

Principio del palomar o de los cajones de Dirichlet
En promedio la cabeza de una persona tiene entorno a cabellos. ¿Existen dos personas en Madrid con la misma cantidad de pelos en el coco? El principio del palomar establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Por ejemplo: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes. El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con el nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( )

¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido)
podemos construir utilizando todas las letras de MISSISSIPPI ? S = { 1×M, 4×I, 4×S, 2×P } Llenemos las 11 casillas:

S = { 1×M, 4×I, 4×S, 2×P } 34.650 I S P M # de posibilidades para M:
´ # de posibilidades para I: S ´ # de posibilidades para S: P ´ # de posibilidades para P: M

Permutaciones con repetición
Si n objetos pueden dividirse en r clases con ni objetos idénticos en cada clase (i = 1, 2, ..., r), es decir, tal que Entonces el número de permutaciones posibles es: ¿Por qué?

Recuerda el problema de MISSISSIPPI...

¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse
en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas y son indistinguibles) y colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar.

ADN y ARN ADN (Ácido Desoxirribonucleico)
Cadena de cuatro posibles bases: Timina (T), Citosina (C), Adenina (A) y Guanina (G) Ejemplo de cadena de ADN: TTCGCAAAAAGAATC

Alga (P. salina): 6,6x105 bases de longitud. Moho (D. discoideum): 5,4x107 bases de longitud. Mosca de la fruta (D. melanogaster): 1,4x108 bases Gallo (G. domesticus): 1,2x109 bases

Humanos (H. sapiens): 3,3x109 bases. ¿Cuántas cadenas distintas de esta longitud son posibles?

ADN y ARN RNA es una molécula mensajera. Lee las bases del ADN y
las copia exactamente iguales, excepto para el caso de la timina (T) que reemplaza por la base uracilo (U).

Tijeras moleculares Algunas enzimas rompen las cadenas de ARN en los
lugares donde detectan una G. Otras enzimas lo hacen para C o U. Consideremos la cadena: CCGGUCCGAAAG Si aplicamos una G-enzima romperá la cadena en los fragmentos: CCG|G|UCCG|AAAG CCG, G, UCCG, AAAG Gracias a la G-enzima podemos conocer estos fragmentos pero no el orden en que aparecen en la cadena original.

Cada permutación nos proporciona una posible cadena.
Como por ejemplo, ésta (que no es la original): UCCGGCCGAAAG En el ejemplo, ¿cuántas posibles cadenas podemos construir con estos cuatro fragmentos? 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 posibles cadenas.

Cadena original: CCGGUCCGAAAG
Supongamos que aplicamos las enzimas U y C. Dispondremos de los U,C-fragmentos: C, C, GGU, C, C, GAAAG ¿Cuántas cadenas supuestas cadenas originales podemos formar con estos fragmentos? ¿Es 6! = 720 la respuesta correcta?

C, C, GGU, C, C, GAAAG Las dos primeras cadenas y la cuarta y quinta son la misma (C), de modo que no podemos distinguirlas... El número de posibles fragmentos no será 6! = 720. Tenemos 6 posiciones (hay 6 fragmentos) y asignamos 4 posiciones de tipo C, uno de tipo GGU y uno de tipo GAAAG. El número de posibilidades es: PR(6;4,1,1) = 6!/4!1!1! = 30 Pero el resultado es incorrecto, aunque no por nuestro argumento combinatorio... ¿Por qué?

Las posibles cadenas son:
Observemos que el fragmento GAAAG no acaba en U o C. De modo que necesariamente es el final. Así que tenemos realmente que posicionar 5 fragmentos. El número de posibles cadenas con esos 5 fragmentos es: PR(5;4,1) = 5 Las posibles cadenas son: (1) CCCCGGU, (2) CCCGGUC, (3) CCGGUCC, (4) CGGUCCC y (5) GGUCCCC a las que hay que añadir GAAAG al final.

De modo que tenemos 24 posibles cadenas a partir de los
G-fragmentos y 5 con los U,C-fragmentos. Pero no hemos combinado los conocimientos de los G y U,C-fragmentos. G-fragmentos: CCG, G, UCCG, AAAG U,C-fragmentos: C, C, GGU, C, C, GAAAG ¿Cuáles de las 5 cadenas posibles de los U,C-fragmentos están en acuerdo con los G-fragmentos?

CCCGGUCGAAAG CCGGUCCGAAAG CGGUCCCGAAAG GGUCCCCGAAAG CCCCGGUGAAAG → no, ya que CCCCG es un G- fragmento y no aparece entre los posibles. ¿Hay más casos semejantes? Comparando las 4 posibles cadenas de ARN restantes con los fragmentos U,C-fragmentos, solo la tercera: CCGGUCCGAAAG es compatible. Y hemos recuperado así la cadena inicial.

Por cierto, ¿cuántas cadenas posibles de ARN pueden
construirse con las mismas 12 bases: 4 Cs, 4 Gs, 3 As y 1 U? PR(12;4,4,3,1) =

Esto era un ejemplo de secuenciación de una cadena de
ARN dada la completa digestión por enzimas. No es siempre posible establecer sin ambigüedad la cadena original por este método. La “Estratagema de fragmentación” que hemos descrito brevemente fue usada por primera vez por R.W. Holley en Cornell en 1965 para determinar una secuencia de ARN. El método fue superado casi inmediatamente por otros mucho más eficientes.

El binomio de Newton (a + b)2 = (a + b) (a + b).
Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1

Teorema del binomio Demostrar:

Generalización del binomio de Newton
Vamos a encontrar una fórmula similar a la del binomio de Newton para (a + b + c)n. Aplicando la propiedad distributiva a: (a + b + c)n = (a + b + c) (a + b + c) ... (a + b + c) tendremos todos los posibles productos ah bk cm tales que h + k + m = n escogidas sobre: S = {n ·a, n · b, n · c}. De modo que: Coeficientes Multinomiales

Combinaciones con repetición
Queremos pintar r pelotas con n colores. Es como agrupar r pelotas en n montones, alguno de los cuales puede estar vacíos. Supongamos n = 4 y r = 5, por ejemplo. La configuración significa: hay tantas bolas como 1s y 0 = “pasa al siguiente color”. Hay 2 bolas del primer color, 1 bola del segundo color, 1 bola del tercer color y 1 bola del cuarto color. ¿Qué significa: y ? Siempre hay 5 unos y 3 ceros (cambios de color). En el caso general, f(n, r) será el número de maneras de disponer r unos y n-1 ceros en una secuencia que consta de n – 1 + r símbolos en total. f(n, r) = # de maneras de escoger n-1 lugares entre n + r – 1 o f(n, r) = # de maneras de escoger r lugares entre n + r – 1

¿Cuántas combinaciones con repetición de 2 elementos sobre el conjunto: S = {¥×a, ¥×b, ¥×c , ¥×d} son posibles? Tenemos 4 “colores” (n = 4) y 2 “bolas” (r = 2). Tenemos 2 1’s y 4–1=3 0’s: 11000 = {a, a} 10100 = {a, b} 10010 = {a, c} 10001 = {a, d} 01100 = {b, b} 01010 = {b, c} 01001 = {b, d} 00110 = {c, c} 00101 = {c, d} 00011 = {d, d}

Un total de 10 posibilidades: {a, a}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, b}, {b, c}, {b, d}, {c, c}, {c, d}, {d, d}.

El número de r-combinaciones de un conjunto con n objetos distintos, cada uno repetido infinitamente, es:

En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles.
¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles? No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles repetidos (hasta cuatro), luego se trata de combinaciones con repetición:

Ejemplo. (El número de soluciones enteras)
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación diofántica: donde x1, x2 y x3 son enteros no negativos? Solución: Tenemos que seleccionar un total de 11 objetos (unidades) para formar 3 conjuntos (3 números). Es equivalente a pintar 11 bolas con 3 colores. En cada selección tenemos x1 elementos en el primer conjunto, x2 elementos en el segundo conjunto y x3 elementos en el tercero. El número de soluciones posibles es: C( , 11) = 78

¿De cuántas formas posibles podemos ordenar una baraja de n cartas?
f(n) = n! Cuando encontramos soluciones como estas se denominan fórmulas cerradas (que pueden expresarse como composición de funciones sencillas). Hemos visto las permutaciones, variaciones o combinaciones. Pero en general esta aproximación no siempre es posible o práctica. En ese caso podemos encontrar la solución como una ecuación de recurrencia o como una función generatriz. Veamos como funcionarían para las combinaciones con repetición.

Supongamos que tenemos r pelotas de golf, indistinguibles entre sí, cada una de las cuales debe ser pintada con cualquiera de n colores disponibles. ¿De cuántas formas las podemos colorear? Denotemos como x1 al número de pelotas pintadas con el primer color, como x2 al número de pelotas pintadas con el segundo color, etc. Entonces: x1 + x xn = r. Llamemos a la solución f(n,r). Entonces: Si sólo dispusiéramos de un color (n = 1) las r pelotas sólo podrían pintarse de una manera: f(1,r) = 1 para todo r  1. (b) Si dispusiéramos de n colores para una sola pelota, tendríamos n formas de colorear posibles: f(n, 1) = n para todo n  1.

(1) Enfoque por recurrencias:
Consideremos f(n, r) y centrémosnos en el n-ésimo color. Una vez pintadas las r pelotas, podemos o no haber usado el n-ésimo color. Si no lo ha sido, sólo han entrado en juego n - 1 colores, y entonces las formas posibles de colorear en ese caso son: f(n - 1, r). Y si el n-ésimo color ha sido utilizado, al menos una de las r bolas habrá sido pintada con él y quedaran r - 1 pelotas que pueden estar coloreadas con n colores, es decir f(n, r - 1), por lo tanto: f(n, r) = f(n - 1, r) + f(n, r - 1) Solucionar el problema consiste en resolver esta ecuación de recurrencia con las condiciones iniciales: f(1,r) = 1 para todo r  1, f(n, 1) = n para todo n  1.

(2) Enfoque por funciones generatrices:
Función generatriz de los números f(n, r).

S(n, k) = S(n -1, k - 1) + k S(n - 1, k)
{1}, {2, 3, 4} {2}, {1, 3, 4} {3}, {1, 2, 4} {4}, {1, 2, 3} {1, 2}, {3, 4} {1, 3}, {2, 4} {1, 4}, {2, 3} ¿De cuántas maneras podemos partir un conjunto de n objetos en k subconjuntos disjuntos? Por ejemplo: Sea S = {1, 2, 3, 4}. ¿De cuántas maneras podemos partir S en dos subconjuntos disjuntos ninguno vacío? El número de maneras de partir un conjunto de n elementos en k subconjuntos, ninguno vacío, es igual a S(n, k), donde los S(n, k) se conocen como los números de Stirling. Y están definidos como: S(n, k) = S(n -1, k - 1) + k S(n - 1, k) S(n, 1) = 1 y S(n, n) = 1, para todo n  1.

El triángulo de los números de Stirling: S(n, k) = S(n - 1, k - 1) + k S(n - 1, k) con S(n, 1) = 1 y S(n, n) = 1, para todo n  1. n S(n,1) S(n,2) S(n,3) S(n,4) S(n,5) S(n,6) S(n,7) S(n,8) 1 2 3 4 7 6 5 15 25 10 31 90 65 63 301 350 140 21 8 127 966 1701 1050 266 28

Sucesiones Sucesión geométrica: an = 2n Sucesión de cuadrados: an = n2
¿Cuál es la continuación de las siguientes sucesiones infinitas? Sucesión geométrica: an = 2n 1, 2, 4, 8, 16, 32, … Sucesión de cuadrados: an = n2 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Sucesión de Fibonacci: F(n) = F(n - 2) + F(n - 1) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...

Números triangulares Demostrar que:

Demostración visual n n+1
Tn = n n n+1

¿Cuántos apretones de manos distintos pueden darse n personas?
Número de personas Número de apretones de manos 2 1 3 4 6 5 10 15 ¿Cuántos apretones de manos distintos pueden darse n personas? Los números triangulares: A-B A-B A-C B-C A-B A-C A-D B-C B-D C-D

Principio del palo de hockey (The Hockey Stick Principle)

Por el principio del palo de hockey:
Números naturales Números triangulares Por el principio del palo de hockey: 1+1 = 2 1+1+1 = 3 = 4 1+2 = 3 1+2+3 = 6 = 10

Números tetraédricos

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
N. J. A. Sloane ( Base de datos con más de sucesiones de números enteros. Capaz de identificar una sucesión a partir de sus primeros términos. No solo hay ejemplos de combinatoria o teoría de números, sino también de otras áreas como: diseño de circuitos (combinaciones de funciones booleanas), química (números de ésteres con n átomos de carbono), física (diagramas de Feynman con n vértices) y biología (estructuras secundarias de ARN con n nucleótidos). Sloane, N. J. A A Handbook of Integer Sequences. New York: Academic Press. Sloane, N. J. A "An On-Line Version of the Encyclopedia of Integer Sequences." The Electronic Journal of Combinatorics. Vol. 1, Feature F1. Sloane, N. J. A., and Simon Plouffe The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press.

Inverse Symbolic Calculator
Simon Plouffe ( Como en el caso de la Encyclopedia of Integer Sequences, Simon Plouffe ha desarrollado el Inverse Symbolic Calculator, o ISC. La calculadora es inversa en el sentido de que utiliza como entrada un número y devuelve “de dónde puede surgir”. Por ejemplo, no le preguntamos cuánto vale e/ + 1 y nos devuelve , como en una calculadora estándar. Sino al revés: introducimos y nos sugiere e/  + 1 como posible fuente del mismo. La base de datos de constantes matemáticas de ISC tiene alrededor de 9 millones de entradas y su creador aspira a que tenga hasta 10 millones. Brian Hayes, "A Question of Numbers", American Scientist, January-February 1996

Números poligonales en general, números n-gonales
Ejemplo, los número pentagonales son: 1, 5, 12, 22, …

¿Cuál es el sexto número pentagonal?
Los números poligonales siempre comienza con el 1. Miremos los “palos” que arrancan de ese punto. Hay 4 palos y cada uno mide 5. Faltan los triángulos. Hay 3 triángulos de orden 4. 1 + 5x4 + T4x3 = 51

¿Cuál es el k-ésimo número n-gonal?
Los números n-gonales siempre comienza con el 1. Miremos los “palos” que arrancan de ese punto. Hay n-1 palos y cada uno mide k-1. Faltan los triángulos. Hay n-2 triángulos de orden k-2. 1 + (k-1) (n-1) + Tk-2 (n-2)

¿De cuántas formas puede ser dividido en triángulos un polígono
1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, , , , , ... ¿De cuántas formas puede ser dividido en triángulos un polígono convexo al trazar diagonales que no se intersecten? n-gono # diagonales # triángulos cuadrado pentágono hexágono (...) n-gono n n-2 2 5 14 Leonhard Euler:

Números de Catalan Tenemos una cadena de n símbolos,
dadas en un orden fijo. Deseamos añadir n-1 paréntesis, de modo que en el interior de cada par de paréntesis izquierdo y derecho haya dos "términos". Estos términos emparejados pueden ser dos letras adyacentes cualesquiera, o una letra y un agrupamiento adyacente encerrado en paréntesis, o dos agrupamientos contiguos. ¿De cuántas formas podemos introducir paréntesis en la cadena? Eugène Charles Catalan ( ), matemático belga, propuso el problema en 1838.

n = 4 números: (1 (2 (3 4))) (1 ((2 3) 4)) ((1 2) (3 4)) ((1 (2 3)) 4)
En 1961, H. G. Forder demostró una correspondencia biunívoca entre las triangulaciones de los polígonos y la introducción de paréntesis en las expresiones. n = 2 números: (12) n = 3 números: (1 (2 3)) ((1 2) 3) n = 4 números: (1 (2 (3 4))) (1 ((2 3) 4)) ((1 2) (3 4)) ((1 (2 3)) 4) (((1 2) 3) 4) n = 5 números: (1 (2 (3 (4 5)))) (1 (2 ((3 4) 5))) (1 ((2 3) (4 5))) (1 ((2 (3 4)) 5)) (1 (((2 3) 4) 5)) ((1 2) (3 (4 5))) ((1 2) ((3 4) 5)) ((1 (2 3)) (4 5)) ((1 (2 (3 4))) 5) ((1 ((2 3) 4)) 5) (((1 2) 3) (4 5)) (((1 2) (3 4)) 5) (((1 (2 3)) 4) 5) ((((1 2) 3) 4) 5)

El matemático británico Arthur Cayley demostró que los números de
Catalan dan el total de árboles (grafos conexos sin loops) que son planares (se puede dibujar en el plano sin que se intersecten las aristas), plantados (tiene un tronco en cuyo extremo se halla la raíz) y trivalentes (en cada nodo exceptuando la raíz y los extremos de las ramas, concurren tres aristas). 2 5 14 42

distintos puede seguir una torre de ajedrez desde el
¿Cuántos caminos distintos puede seguir una torre de ajedrez desde el vértice superior izquierdo al inferior derecho, siempre por debajo de la diagonal y con movimientos posibles al sur y al oeste, en un tablero de lado n? n = 2 2 5 14 n = 3 n = 4

La Combinatoria es una rama de la matemética que estudia colecciones de objetos (normalmente finitos) que satisfacen ciertos criterios. En particular si se trata de contarlos estamos frente a la Combinatoria Enumerativa. Nos hemos centrado casi exclusivamente en ella porque es esencial para cálculos elementales de probabilidad. Pero existen otras ramas bien desarrolladas: el diseño combinatorio, la teoría de matroides, la combinatoria extremal, la optimización combinatoria o el álgebra combinatoria.

Táctica para chuletas (Optimización combinatoria)
El señor Asamantecas tiene un asador pequeño, donde apenas caben dos chuletas. Su mujer y su hija Clara se mueren de hambre y están ansiosas por comer cuanto antes. El problema es asar las tres chuletas en el mínimo tiempo posible. Sr. Asamantecas: Vamos a ver, hacen falta 20 minutos para asar una chuleta por los dos lados, pues cada uno tarda 10. Como puedo preparar dos chuletas a la vez, en 20 minutos puedo tener listas dos. La tercera tardará otros 20 minutos. Así que la comida estará a punto dentro de 40 minutos. Clara: ¡Pero papá! ¡Si puedes hacerlo en mucho menos! Acaba de ocurrírseme cómo ahorrar 10 minutos. ¿Cuál fue la feliz idea que se le ocurrió a Clara?

Esto es un problema típico de optimización combinatoria
Chuletas A, B y C. A1+B1 = 10 min A2+C1 = 10 min B2+C2 = 10 min Total = 30 min Esto es un problema típico de optimización combinatoria en investigación operativa.

Un par de problemas clásicos de optimización
combinatoria más: (1) ¿Cómo harías para traer de un río seis litros de agua, si no tienes a tu disposición, para medir el agua, mas que dos recipientes, uno de cuatro litros y otro de nueve? (2) Un pastor tiene que pasar un lobo, un conejo y una col de una orilla de un río a la otra orilla. Dispone de una barca en la que sólo caben él y una de las tres cosas anteriores. Si deja solos al conejo y al lobo, éste se come a aquél; si deja al conejo con la col, aquél se la come. ¿Cómo debe proceder para llevar las tres cosas a la orilla opuesta?

Trabajos propuestos

El problema de los cuatro colores

Ars Combinatoria de Ramon Llull

Creación combinatoria
Grupo Oulipo. John Cage... ect...

Ejercicios de combinatoria

¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los
10 números 0, 1, 2, ..., 9 si: a) se permiten repeticiones, b) no se permiten repeticiones, c) el último número debe ser cero y no se permiten repeticiones? El primer número puede ser cualesquiera de los 9 dígitos (el cero no es significativo como primera cifra). El segundo, tercero y cuarto número pueden ser siempre cualquiera de los 10. Por lo tanto habrá: 9·10·10·10 = números posibles. El primer número puede cualquiera de los 9 (excepto el cero). El segundo puede ser cualquiera de los 9 restantes (ahora el cero se permite). El tercero tendrá 8 posibilidades y el cuarto 7. Por lo que resultan: 9·9·8·7 = números.

c) Análogamente a antes, el primer dígito se puede escoger de
9 maneras, el segundo de 9 y el tercero de 8. El cuarto, sin embargo, solo tiene una posibilidad: el cero. Entonces, por la regla del producto: Configuraciones posibles = 9·9·8·1 = 648 números. _ _ _ 0

¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar 10 personas en
una banca si solamente hay 4 puestos disponibles? El primer puesto libre puede ocuparse de 10 maneras, luego el segundo de 9 maneras, el tercero de 8 y el cuarto de 7. El número de ordenaciones de 10 personas tomadas de 4 a la vez será:

Tenemos 6 alumnos de primer curso, 5 de segundo, 4 de tercero, 3 de cuarto, 2 de quinto, 1 de sexto, como candidatos a recibir 5 premios de la Facultad, uno al alumno menos charlatán, otro al más atento, otro al que tiene mejor letra, otro al que asiste más a tutorías y otro al que mejor aparca el coche. Suponiendo que ningún alumno puede recibir más de un premio, se pide: ¿De cuántas maneras se pueden distribuir los premios? Solución: 21 candidatos a 5 premios. Como ningún alumno puede recibir más de un premio, tenemos 21 candidatos para el primer premio, 20 para el segundo... En total 21x20x19x18x17= (distribuciones posibles).

En una estantería se quieren colocar 4 libros diferentes de
matemáticas, 6 de física y 2 de química. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar si: a) los libros de cada materia deben quedar juntos, b) sólo los libros de matemáticas deben quedar juntos? a) Por un lado, los libros de matemáticas se pueden colocar de 4! maneras, los de física de 6! y los de química de 2!. Los tres grupos de libros se podrán colocar de 3! maneras. Por consiguiente se obtienen: 4!·6!·2!·3! = distintas configuraciones. b) Si consideramos los 4 libros de matemáticas como si fuesen uno solo, entonces tenemos 9 libros, que pueden colocarse de 9! maneras. En todas estas configuraciones los libros de matemáticas estarían juntos. Pero a su vez, éstos se pueden colocar de 4! maneras, por lo que en total se obtienen: 9!·4!= maneras

¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD?
Respuesta: 6!/2! ¿De dónde sale ese 2!? Supón que para distinguir la D repetida utilizamos una tilde: BONDAD’ Ahora todas las letras son distintas, luego hay 6! permutaciones posibles. Pero cada par de permutaciones: - - - D - D’ - - - D’- D en realidad son la misma. Por lo tanto debemos dividir por 2 el número total de permutaciones. ¿Y por qué por 2!? Piensa que ocurriría si hubieran tres D's...

Ahora este es fácil: una generalización del anterior
Ahora este es fácil: una generalización del anterior. ¿Cuántas palabras distintas de 11 letras podemos formar con la palabra CACATUA? La palabra CACATUA consta de 7 letras de las cuales sólo hay 4 tipos distinguibles: 2C, 3A, 1T y 1U. Tendremos entonces que repetir elementos dentro de cada tipo. Por lo tanto se trata de una permutación con repetición:

En una línea están acomodadas cinco canicas rojas, dos blancas y
tres azules. Si las canicas del mismo color no pueden diferenciarse entre sí, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar? Por razonar de otra manera, usemos un astuto truco: Supongamos que la respuesta es N configuraciones distintas. Observa que dada una de esas configuraciones, si cambiamos bolas del mismo color entre sí, como son indistinguibles, la configuración se mantiene. Entonces, multiplicando N por el número de maneras de colocar las 5 canicas rojas entre ellas, las 2 blancas y las 3 azules, es decir: N·5!2!3!, obtenemos las posibles configuraciones si se diferenciasen entre sí todas las bolas. Pero si todas las bolas fueran diferentes, el número de configuraciones sería: 10!. Entonces: (5!2!3!)N = 10! y despejando N tendremos la respuesta: N = 10!(5!2!3!).

¿De cuántas maneras se pueden dividir 10 objetos en dos grupos
que contengan 4 y 6 objetos respectivamente? Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos, de los cuales 4 son indistinguibles entre sí y los otros 6 también. Se trata entonces de una permutación con repetición: 10!/(4!6!) = 210. El problema también equivale a encontrar el número de selecciones de 4 de 10 objetos (ó 6 de 10), siendo irrelevante el orden de selección. Se trata por lo tanto de combinaciones sin repetición:

Se necesitan sentar 5 hombres y 4 mujeres en fila, de manera que
las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras pueden sentarse? La configuración general pedida será: H M H M H M H M Los hombres se pueden sentar de 5! maneras, y las mujeres de 4!. Cada configuración de los hombres puede darse con cada configuración de las mujeres. Entonces se tendrán: Nº maneras = 5!4!= 2.880

¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar 7 personas
alrededor de una mesa redonda si: a) se pueden sentar en cualquier lugar, b) 2 personas en particular no se pueden sentar juntas? Empecemos con una persona sentada en cualquier lugar. Entonces las 6 personas restantes se pueden sentar de 6! = 720 maneras. Y esta es la respuesta, puesto que si la persona inicial se hubiera sentado en cualquier otro sitio, bastaría un giro para alcanzar alguna de las configuraciones contadas. b) Consideremos a 2 personas en particular como si fuesen una sola. Entonces, hay 6 personas en total, que se pueden colocar de 5! maneras. A parte, las 2 personas que consideramos como si fueran una, pueden ordenarse de 2! maneras. Por consiguiente, el número de maneras de organizar a 7 personas con 2 en particular sentadas juntas es: 5!·2! = 240. Usando a), las maneras pedidas serán: = 480 maneras.

¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas
a partir de un grupo de 9? Si quiero alquilar tres pelis, ¿cuántas posibilidades tengo si en el videoclub sólo hay 200 películas?

Desde un grupo de 5 matemáticos y 7 físicos se quiere formar un
comité de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas maneras se puede hacer si: a) se puede incluir cualquier matemático y cualquier físico, b) un físico en particular debe estar en el comité y c) dos matemáticos en particular no pueden pertenecer al comité? a) Se pueden seleccionar 2 matemáticos de 5 de C(5,2) maneras y a los 3 físicos de C(7,3) maneras. El número total es el producto = 10·35 = 350. b) Análogamente: los posibles matemáticos coinciden con los de antes: C(5,2); y los físicos esta vez se cogen 2 de los 6 que quedan: C(6,2). Por lo tanto, el total será: C(5,2)·C(6,2) = 10·15 = 150. c) Ahora sólo tendremos dos matemáticos a escoger entre 3: C(3,2). Los físicos serán como en a). En total tendremos: C(3,2)·C(7,3) = 3·35 = 105.

¿Cuántas ensaladas diferentes puedo hacer con lechuga, tomate,
cebolla, aceitunas y atún? 1ª Forma: Se pueden seleccionar 1 de los 5 ingredientes, 2 de los 5, ... hasta coger 5 de los 5. El número de ensaladas distintas es: C(5,1)+ +C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)= =31. 2ª Forma: Cada ingrediente puede tratarse de 2 maneras, se puede escoger o rechazar. Puesto que cada 2 formas de tratar a un ingrediente está asociada con las 2 formas de tratar a cada uno de los otros vegetales, el número de maneras de tratar a los 5 ingredientes es 25. Pero dentro de las 25 maneras se incluye el caso de no coger ningún ingrediente. Por lo tanto: Número de ensaladas = 25-1 = 31.

¿Cuántas palabras de 4 consonantes diferentes y 3 vocales distintas
se pueden formar a partir de 7 consonantes y 5 vocales? (No hace falta que tengan sentido) Se pueden seleccionar 4 consonantes diferentes de C(7,4) maneras y las 3 vocales de C(5,3) maneras. Además, las 7 letras resultantes (4 consonantes y 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de 7! maneras. Por lo tanto: # de palabras = C(7,4)·C(5,3)·7! = 35·10·5040 =

15 resultados X (3 valores) 2
¿De cuántas formas distintas se pueden acertar 9 resultados en una quiniela futbolística de 15 resultados? SOLUCIÓN: 1 15 resultados X (3 valores) 2 Los 9 resultados acertados se pueden elegir de formas distintas. En cada resultado, las opciones de fallo son 2, por lo que para cada una de las formas de acierto, los seis resultados se pueden fallar de 2·2·2·2·2·2=26 formas distintas. En total tendremos formas distintas de acertar 9 resultados = formas

Sigue en la siguiente diapositiva

Análogamente, las formas de distribuir las otras 50 sillas son:
Se distribuyen 100 sillas auxiliares entre 5 aulas de modo que las dos mayores, reciben, entre las dos, 50 sillas ¿De cuántas formas distintas se puede hacer el reparto? SOLUCIÓN: A y B : aulas mayores. 50 sillas: asignación de las letras A o B a cada una de las 50 sillas. Como las sillas son iguales no hay orden en esta asignación y cada distribución es una combinación con repetición de orden 50 con los elementos A y B. Análogamente, las formas de distribuir las otras 50 sillas son: y el reparto se puede efectuar de 51·1326= formas distintas.

Se pide averiguar de cuántas formas puede hacerse la elección si:
Un banco tiene que elegir 5 cargos directivos: director, subdirector, interventor, tesorero y gerente, entre 8 personas, de las cuales 3 son hombres (A,E,O) y 5 mujeres (X,Y,Z,V,W). Se pide averiguar de cuántas formas puede hacerse la elección si: Los hombre A y E no pueden estar juntos en la misma elección. Entran los 3 hombres. Entran 3 mujeres y 2 hombres. Entran al menos 3 mujeres. SOLUCIÓN: Contamos las elecciones: - A pero no con E. - E pero no con A. - sin A ni E. Elecciones con A = ( Elecciones con E) : hay que elegir otra 4 de entre 6 de = 15 formas distintas. Ahora debemos asignas cargos. Cada asignación de cargos a los directivos elegidos es una permutación de las cinco personas elegidas. Por tanto, el número de elecciones con A es:

Por tanto las opciones sin A ni E juntos es:
Elecciones sin A ni E: de forma análoga Por tanto las opciones sin A ni E juntos es: b) Si entran los 3 hombres quedan 2 puestos para las 5 mujeres, que se pueden elegir de maneras. Considerando la asignación de cargos directivos resultan c) Los hombres se eligen de formas y las mujeres de formas. Por tanto el número de elecciones en este caso es: d) Contamos separadamente cuando entran 3 mujeres, cuando entran cuatro y cuando entran cinco:

3·6·10= 180 equipos ó quintetos titulares.
Un equipo de baloncesto dispone de 12 jugadores: 3 bases, 4 aleros y 5 pívots. ¿Cuántos equipos diferentes puede presentar el entrenador como quinteto titular? Se recuerda que de forma simplificada un equipo de baloncesto consta de un base, dos aleros y dos pívots. SOLUCIÓN: Hay que elegir 1 base, 2 aleros y 2 pívots de un total de 3 bases, 4 aleros y 5 pivots, donde el orden no influye en cada uno de los puestos correspondientes sino las personas en juego. El entrenador puede presentar: 3·6·10= 180 equipos ó quintetos titulares.

Calcular el número de sucesiones que se pueden formar con 3 aes, 5 bes y 8 ces. ¿ Y si no puede haber dos bes consecutivas? ¿Y si no hay dos iguales consecutivas? SOLUCIÓN: Cada una de las sucesiones sin condiciones adicionales es una permutación de aaabbbbbcccccccc, por lo que su número es: Para que las letras b no aparezcan consecutivas, deben colocarse, entre dos términos de una de las sucesiones de aes y ces. Como hay 11 símbolos en esas sucesiones el número de huecos donde se pueden colocar las bes es 12. Debemos elegir 5 de estos 12 huecos. Se puede hacer de

c) No se permiten letras iguales consecutivas
c) No se permiten letras iguales consecutivas. Fijémonos en la colocación de las ces. El número de ces es la suma del nº de aes y bes. 2 opciones: Si c sólo aparece en uno de los extremos: c-c-c-c-c-c-c-c- eligiendo 3 huecos de los 8 posibles para colocar las 3 aes, tendremos la sucesión descrita: El nº de sucesiones de este tipo es Si c aparece en los 2 extremos, una colocación será: c- -c-c-c-c-c-c-c donde en las posiciones – podemos colocar a o b. El doble hueco - - puede aparecer en 7 posiciones y se puede llenar con ab o con ba, es decir, se presenta 2·7 posibilidades. Luego hay que elegir dos huecos entre seis para colocar las restantes aes. En total, el nº de sucesiones en este caso es El nº de sucesiones sin letras iguales consecutivas es:

Un borracho camina por una acera. Todos los pasos que da son de
la misma longitud. Sabiendo que tiene la misma probabilidad de avanzar que de retroceder. ¿De cuántas formas puede dar 2n pasos que le devuelvan a la puerta del bar? Nota: Usar como notación 1 = paso adelante, -1 = paso atrás.

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