Olimpiadas Colombianas de Matemáticas

Olimpiadas Colombianas de Matemáticas
Hacia la excelencia educativa

Índice Introducción Historia Objetivos Eventos Problemas
Información e inscripciones Regresar

Introducción Misión La misión de las olimpiadas es mostrar a los estudiantes puertas abiertas gracias a las matemáticas para razonar, investigar, conjeturar, comprobar y demostrar. Regresar

Introducción Visión La visión de las olimpiadas de matemáticas es formar en nuestro país una comunidad científica numerosa y de gran capacidad, aprovechando al máximo tanto las capacidades individuales como el trabajo en grupo, fomentados desde temprana edad en los diferentes eventos propuestos. Regresar

Historia Las olimpiadas de Matemáticas en Colombia dieron inicio en 1980, cuando el rector de la Universidad Antonio Nariño viajo a la universidad de Berkeley (California) a una reunión internacional de matemáticos con el fin de obtener una invitación para nuestro país a la Olimpiada Internacional de Matemáticas de A partir de ese momento han sido más de veinte años de incansable trabajo a favor de las generaciones de jóvenes talentosos del país Regresar

Historia El fruto de este trabajo se resume en más de 200 medallas en diferentes certámenes internacionales como reconocimiento al talento de los estudiantes colombianos, en numerosos eventos internacionales coordinados por Colombia, y ante todo en un gran grupo de estudiantes interesados en las matemáticas y en el avance científico del país en general Regresar

Algunas medallas 46 medallas de bronce, 11 de plata y 1 de oro en la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas). Primer bronce en 1984, primera plata en 1989 y oro en En 2005, dos medallas de bronce y dos de plata 40 medallas de bronce, 15 medallas de plata y 13 medallas de oro en la OIM (Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas). Primer oro en la primera edición, En 2004, dos medallas de oro, una de plata y una de bronce. Regresar

Objetivos Proponer ante la comunidad estudiantil metas consecuentes con la búsqueda de la excelencia académica en Matemáticas Impulsar la investigación y el pensamiento creativo de los estudiantes del país dentro del marco de sus estudios, desde la escuela primaria hasta los universitarios Regresar

Objetivos Identificar estudiantes con especial interés y capacidad en Matemáticas para brindarles orientación y apoyo en sus estudios Formar lideres de la comunidad científica colombiana Regresar

Eventos Colegios Universidades Eventos nacionales Eventos nacionales
Eventos internacionales por correspondencia Eventos internacionales presenciales Universidades Eventos nacionales Eventos internacionales por correspondencia Eventos internacionales presénciales Regresar

Eventos nacionales a nivel colegios
Olimpiada Colombiana de Matemáticas para Primaria (Cinco rondas) En este evento se pretende incentivar desde temprana edad a los estudiantes a desarrollar sus capacidades matemáticas a través de problemas de fácil entendimiento que utilicen en su solución principalmente el ingenio y la creatividad. Regresar

Concurso Futuros Olímpicos para Primaria (Dos rondas) Ronda única, diseñado para ser un paso intermedio para aquellos estudiantes que quieren participar en la Olimpiada Colombiana de Matemáticas pero prefieren tener una prueba de preparación. Regresar

Olimpiada Colombiana de Matemáticas (Cuatro rondas) Esta competencia, dividida en tres niveles, cuenta con aproximadamente participantes al año, de los cuales se seleccionan los mejores para representar al país en los diferentes eventos internacionales en los que Colombia participa Regresar

Competencia Regional de Matemáticas (Esquema) Consiste en una sola prueba de selección múltiple, en la cual los colegios más destacados de cada región compiten en equipos en un evento conocido como Día Regional de las Matemáticas, clasificatorio a su vez para la Semana Nacional de las Matemáticas, el evento por equipos más importante del país Regresar

Concurso Futuros Olímpicos. Ronda única, diseñado para ser un paso intermedio para aquellos estudiantes que quieren participar en la Olimpiada Colombiana de Matemáticas pero prefieren tener una prueba de preparación. Participantes en 2005: 4000 estudiantes. Costos de participación: $50000 inscripción por colegio + $1500 cada estudiante. La inscripción de colegio se exime a las instituciones que inscriben 250 estudiantes o más. Regresar

Torneo Futuros Matemáticos El objetivo de este evento es dar un espacio a aquellos estudiantes interesados en la matemática de tipo investigativo. Los estudiantes pueden participar por grupos de cinco personas. Consta generalmente de dos problemas que requieren un razonamiento cuidadoso y detenido. Participantes en 2005: 1000 estudiantes aproximadamente. Costos de participación: $50000 inscripción por colegio + $1000 cada estudiante. La inscripción de colegio se exime a las instituciones que inscriben 250 estudiantes o más. Regresar

Olimpiada Colombiana de Matemáticas para Primaria
Costos de participación: $50000 inscripción por colegio + $1000 cada estudiante por cada prueba (hasta la cuarta). La inscripción de colegio se exime a las instituciones que inscriben 250 estudiantes o más. Inscritos en 2005: estudiantes aproximadamente Regresar

Olimpiada Colombiana de Matemáticas para Primaria
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Concurso Futuros Olímpicos para Primaria
Participantes en 2005: 6000 estudiantes aproximadamente. Costos de participación: $50000 inscripción por colegio + $1000 cada estudiante cada prueba (hasta la segunda). La inscripción de colegio se exime a las instituciones que inscriben 250 estudiantes o más. Regresar

Concurso Futuros Olímpicos para Primaria
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Olimpiada Colombiana de Matemáticas
Costos de participación: $50000 inscripción por colegio + $1500 cada estudiante (una sola vez). La inscripción de colegio se exime a las instituciones que inscriben 250 estudiantes o más. Inscritos en 2005: estudiantes aproximadamente Regresar

Olimpiada Colombiana de Matemáticas
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Competencia Regional de Matemáticas
Costos de participación: $50000 inscripción por colegio + $1500 cada estudiante. La inscripción de colegio se exime a las instituciones que inscriben 250 estudiantes o más. Inscritos en 2004: estudiantes aproximadamente Regresar

Competencia Regional de Matemáticas
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Eventos internacionales por correspondencia Nivel colegios
Torneo Internacional de Municipios Organizado por la Academia de Ciencias de Rusia, este evento se realiza dos veces al año, seleccionándose para cada una de estas a los estudiantes más destacados de cinco ciudades del país Regresar

Olimpiada Asiático-Pacífica de Matemáticas Uno de los eventos más tradicionales del calendario olímpico, en el participan países como Canadá, Estados Unidos y Taiwán. Colombia fue organizador de este evento entre los años 1999 y 2001 Regresar

Olimpiada Bolivariana de Matemáticas Evento impulsado por Colombia, se realiza con las mismas pruebas que la ronda final nacional. Regresar

Eventos Internacionales Presénciales Nivel Colegios
Olimpiada Internacional de Matemáticas Este evento, alrededor del cual se creó la Olimpiada Colombiana en 1981, se realiza año tras año en diferentes lugares del globo, con la participación de delegaciones de más de 80 países. En el participan anualmente los seis estudiantes más destacados en la olimpiada nacional, acompañados de dos profesores representantes ante el jurado. Regresar

Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas Colombia fue co-fundador y primer anfitrión de este evento en Participan en el alrededor de veinte países de Iberoamérica, con delegaciones de cuatro estudiantes y dos profesores. Regresar

Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe De los concursos internacionales de matemáticas con carácter presencial en los que participa Colombia, este es el más reciente. Actualmente nuestro país cuenta con el privilegio de ser sede alternativa del evento, como muestra de confianza de parte del comité organizador. Regresar

Olimpiada Matemática Rioplatense Se realiza anualmente en la República Argentina. Este evento ofrece niveles de competencia para estudiantes desde sexto en adelante, cubriendo toda la educación secundaria. Participan los países de la zona del Río de la Plata, más invitados especiales, entre los que se encuentra Colombia de forma permanente. Regresar

Eventos nacionales a nivel universidades
Olimpiada Colombiana de Matemática Universitaria (Ronda Abierta Preparatoria) Esta competencia, que tiene lugar en el primer semestre del año, esta dirigida a preseleccionar el equipo que participa por Colombia en la Competencia Internacional de Matemáticas (IMC por su sigla en ingles). Son convocados a esta competencia todos los estudiantes de pregrado de Colombia. Regresar

Eventos nacionales a nivel universidades
Olimpiada Colombiana de Matemática Universitaria (Rondas Clasificatoria y Final) La ronda clasificatoria, que se lleva a cabo en el segundo semestre del año, cumple dos funciones básicas: Seleccionar a los participantes en la Ronda Final Universitaria y preseleccionar los participantes en la Olimpiada Iberoamericana de Matemática Universitaria. Regresar

Eventos internacionales por correspondencia Universidades
Olimpiada Iberoamericana de Matemática Universitaria Este evento fue iniciado por Colombia, para dar una mayor posibilidad de desarrollar la matemática a nivel universitario en toda la región. En la competencia participan actualmente más de diez países. Regresar

Eventos Internacionales Presénciales Universidades
Competencia Internacional de Matemáticas Colombia es el primer país de América Latina en participar de este evento. Reúne a los estudiantes más destacados de Europa, Asia y América. Hasta hoy nuestro país ha participado en cuatro ediciones de la competencia, obteniendo una medalla de oro, seis de plata y diez de bronce, así como seis menciones de honor. Regresar

Problemas Problemas para primaria Problemas para primer nivel (6º-7º)
Problemas para nivel intermedio (8º-9º) Problemas para nivel superior (10º-11º) Regresar

Problemas de Primaria Problema 1 Problema 5 Problema 2 Problema 6
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Problemas de Primer Nivel
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Problemas de Nivel Intermedio
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Problemas de Nivel Superior
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Primaria – Problema 1 En un desfile del año nuevo chino se presenta un disfraz de dragón de 800 centímetros de largo, en el que el cuerpo del animal mide 360 centímetros más que la cabeza. ¿Cuánto mide la cabeza del dragón? Respuesta Regresar

Primaria – Respuesta 1 Respuesta: 220 centímetros. Como el cuerpo del dragón es 360 centímetros más largo que la cabeza, de los 440 centímetros restantes deben corresponder 220 al cuerpo y 220 a la cabeza. Así, la cabeza debe medir 220 centímetros y el cuerpo 580 centímetros. Regresar

Primaria – Problema 2 El rey Arturo dispone a sus caballeros alrededor de una mesa redonda, en la cual todos son tratados como iguales. En una reunión, para contar a los caballeros de su corte, el rey decide que todos deben numerarse en el orden de las manecillas del reloj. Si el caballero con el número 6 está frente al caballero con el número 19, ¿cuántos caballeros hay en la mesa redonda? (Aclaración: Se supone que un caballero está frente a otro si hay la misma cantidad de caballeros entre ellos por derecha o por izquierda). Respuesta Regresar

Primaria – Respuesta 2 Respuesta: 26. Entre los caballeros 6 y 19 siguiendo el orden de numeración deben encontrarse los caballeros con los números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18, es decir, doce caballeros. Como lo indica el problema, en el otro recorrido entre los dos caballeros también debe tenerse la misma cantidad de caballeros, es decir, doce caballeros más. Así, el total de caballeros en la mesa redonda debe ser igual a (donde el 2 al final representa a los caballeros 6 y 19), es decir, 26. Regresar

Primaria – Problema 3 Juliana tiene tres cajas de fósforos, que contienen 104 fósforos entre las tres. Si ella saca 18 fósforos de la primera caja, 9 de la segunda y pone uno en la tercera, tendrá la misma cantidad de fósforos en cada una de las cajas. ¿Cuántos fósforos tenía inicialmente Juliana en la segunda caja? Respuesta Regresar

Primaria – Respuesta 3 Respuesta: 35. Juliana saca 18 fósforos de la primera caja y 9 de la segunda, es decir, saca 27 fósforos, pero también pone uno de más en la tercera caja, con lo que finalmente ella retiró 26 fósforos del total, por lo que ahora tiene =78 fósforos, distribuidos en cantidades iguales en las tres cajas. Se sigue que en cada caja debe tener 78÷3=26, de donde en la segunda caja debió tener inicialmente 26+9=35 fósforos. Regresar

Primaria – Problema 4 El mago Merlín tiene 11 esferas mágicas azules y 18 amarillas en una caja oscura en la que no puede distinguir los colores. Él empieza a sacar las esferas de la caja, esperando que salgan dos seguidas del mismo color para poder hacer un truco mágico. En el peor de los casos, ¿cuál es el máximo número de esferas que tendrá que extraer para obtener las dos seguidas del mismo color que necesita? Respuesta Regresar

Primaria – Respuesta 4 Respuesta: 24. Como solamente tiene dos colores de esferas, la forma de no obtener dos esferas seguidas es obtener alternadamente una de cada color hasta que se agoten las de algún color, que será el azul. Así, en el peor de los casos Merlín obtendrá una esfera amarilla, luego una azul, luego una amarilla y así sucesivamente hasta agotar las azules, momento en el que habrá sacado ya 22 esferas, para luego extraer dos amarillas de las siete restantes, y de esta forma completar 24 esferas extraídas en total. Regresar

Primaria – Problema 5 El promedio de las edades de cinco personas es 37 años. Si todos tienen mínimo 35 años, ¿cuál es la máxima edad posible en el grupo? Respuesta Regresar

Primaria – Respuesta 5 Respuesta: 45. Claramente la edad máxima se consigue si una de las personas tiene la edad por encima de el promedio y las otras tienen el mínimo posible. Así, podemos asumir que cuatro de las personas tienen 35 años, con lo que la suma de sus edades es 140. Como el total que se debe obtener es 5×37=185, la otra persona debe tener =45 años. Regresar

Primaria – Problema 6 En la “Isla del Chango” el sol sale a las 3:33 y se oculta a las 21:21. ¿Cuánto dura el sol en el cielo en un día en la isla? Respuesta Regresar

Primaria – Respuesta 6 Respuesta: 17 horas y 48 minutos. Desde las 3:33 hasta las 21:33 se tendría que han transcurrido 18 horas del día, pero las 21:33 son 12 minutos después del atardecer, por lo que la duración del día es 18 horas menos 12 minutos, es decir, 17 horas y 48 minutos. Regresar

Primaria – Problema 7 Emerson debe presentar tres exámenes de 100 puntos cada uno y un examen final de 200 puntos. Si su objetivo es obtener por lo menos 17 de cada 20 puntos posibles, y en los tres primeros exámenes obtuvo 84, 78 y 86 puntos respectivamente, ¿cuántos puntos debe obtener en el examen final? Respuesta Regresar

Primaria – Respuesta 7 Respuesta: 177 puntos. Obtener 17 de cada 20 puntos posibles quiere decir que Emerson espera obtener un total de 425 puntos. Como a partir de sus primeros tres exámenes ya cuenta con 248 puntos, ahora debe obtener = 177 puntos para lograr su objetivo. Regresar

Primaria – Problema 8 La suma de 5 enteros consecutivos es 215. ¿Cuál es el menor de estos números? Respuesta Regresar

Primaria – Respuesta 8 Respuesta: 41. Como la cantidad de enteros consecutivos es impar, sabemos que el número intermedio es la suma dividida entre la cantidad de términos, es decir, 215÷5=43. Así, el menor de los números debe ser 43-2 = 41. Regresar

Primer Nivel – Problema 1
Un estudiante curioso le pregunta la edad a su maestro. Este le responde: “Tengo siete hijos, cada uno nació tres años y medio después del anterior. Cuando el primero nació, yo había cumplido 24 años, y mi hijo menor cumplió recientemente 13 años”. ¿Cuál es la edad actual del maestro? Respuesta Regresar

Primer Nivel – Respuesta 1
Respuesta: 58 años. Como los nacimientos de sus hijos están separados por tres años y medio, entre el nacimiento del primer hijo y el nacimiento del séptimo hijo deben transcurrir 3.5×(7-1)= 21 años, lo que quiere decir que al momento de nacer el séptimo hijo el maestro debe tener 45 años. Sin embargo ahora su hijo menor tiene 13 años, con lo que el maestro debe tener = 58 años. Regresar

8 niños tardan 3 días en comerse 12 tablones de chocolate. ¿Cuántos tablones de chocolate serán capaces de comer 9 niños en 4 días? Respuesta Regresar

Respuesta: 18. Como 8 niños tardan 3 días en comerse 12 tablones, 8 niños deben tardar 1 día en comerse 4 tablones, por lo que 1 niño en 1 día se come medio tablón. De esta forma, 9 niños deben comerse en 1 día 0.5×9=4.5 tablones, y en 4 días se comerán 4.5×4=18 tablones. Regresar

Un triángulo rectángulo cumple que el doble de uno de los ángulos agudos es igual al triple del otro. ¿Cuál es el valor en grados del ángulo menor? Respuesta Regresar

Respuesta: 36 grados. Se sabe que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo suman 90 grados, por lo que si llamamos x el valor del ángulo buscado, los datos del problema dicen que x+(3x/2)=90 grados, de donde x=(180/5) grados, es decir, 36 grados Regresar

El príncipe dragón pregunta a su padre el rey sobre su edad. El rey responde: “Si tuvieses 7 veces la edad que tienes ahora, tu edad sería la mitad de la mia. En ese momento aún te faltaría envejecer 112 años para alcanzar mi edad”. ¿Cuál es la diferencia entre la edad del rey y la del príncipe? Respuesta Regresar

Respuesta: 208 años. Se indica que si el príncipe tuviese siete veces la edad que tiene ahora entonces su edad sería la mitad de la edad del rey, y a la vez que la mitad de la edad del rey es 112 años. De aquí se deduce que el rey tiene 112×2=224 años y el príncipe tiene 112÷7=16 años. Por esto, la diferencia de edades debe ser =208 años. Regresar

Dado un rectángulo ABCD tal que AB=18cm y BC=24cm se divide la diagonal AC en tres partes iguales AE=EF=FC. ¿Cuánto vale el área del triángulo EBC? Respuesta Regresar

Respuesta: 144cm². El triángulo ABC tiene base 18cm y altura 24cm, luego su área será 216cm², pero el triángulo EBC tiene base EC=(2×AC)/3 y la misma altura que el triángulo ABC con respecto a AC, de donde se tiene que Área(EBC)=(2×Área(ABC))/3=144cm². Regresar

96 colectivos llevan algunos aficionados desde Bogotá al partido entre Colombia y Argentina por las eliminatorias mundialistas. Todos los colectivos llevan la misma cantidad de pasajeros. En el camino a Barranquilla 12 de los colectivos tuvieron diferentes fallas mecánicas, que hicieron a los pasajeros redistribuirse de forma que quedó exactamente un aficionado más en cada uno de los colectivos. ¿Cuántos aficionados hicieron el viaje? Respuesta Regresar

Respuesta: 672. Sea p la cantidad de pasajeros que viajaban inicialmente en cada microbús. Por la descripción del problema se tiene que 96×p=84×(p+1), de donde se despeja p=7. Así, el número total de pasajeros debe ser 96×7=672. Regresar

Observe la siguiente sucesión: 2, 4, 16, 37, 58, … . Cada número se forma tomando la suma de los dígitos al cuadrado del número anterior. Si se sigue así, ¿cuál es el mayor número en la sucesión? Respuesta Regresar

Respuesta: 145. Si continuamos desarrollando la sucesión, encontraremos los valores 89, 145, 42, 20, 4, 16, … . A partir de este punto, los números se empezarán a repetir, y el mayor valor que aparece es el 145. Regresar

Carlis y Eliana se encuentran a 400 metros de distancia. Se sabe que Carlis puede recorrer la distancia que los separa en 4 minutos y Eliana puede recorrerla en 5 minutos. Si los dos empiezan simultáneamente a acercarse a esas mismas velocidades, ¿a qué distancia estarán cuando hayan transcurrido dos minutos? Respuesta Regresar

Respuesta: 40 metros. Como Carlis puede recorrer 400 metros en 4 minutos, debe recorrer 100 metros cada minuto. De la misma forma, como Eliana recorre los 400 metros en 5 minutos, debe recorrer 80 metros cada minuto. Así, en dos minutos Carlis recorre 200 metros y Eliana 160, para un total de 360 metros, lo que quiere decir que la distancia entre ellos debe ser de 40 metros. Regresar

Nivel Intermedio – Problema 1
Se tienen dos números enteros positivos menores que 100, tales que para los dos se cumplen las siguientes condiciones: El residuo al dividir por 3 es 1, el residuo al dividir por 4 es 0 y el residuo al dividir por 5 es 3. ¿Cuál es la diferencia entre los dos números? Respuesta Regresar

Nivel Intermedio – Respuesta 1
Respuesta: 60. Como los residuos son los mismos, la diferencia entre los números debe ser divisible por 3, 4 y 5. Así, la diferencia debe ser divisible por 60 (por ser este el mínimo común múltiplo de 3, 4 y 5), y como los números son menores que 100 y por esto la diferencia debe también ser menor que 100, la única posibilidad para el valor de la diferencia es exactamente 60. Regresar

Miro las manecillas de mi reloj. A partir de este momento, el horario tardará el doble de tiempo que el minutero en llegar al número seis. ¿Qué hora es? Respuesta Regresar

Respuesta: 5:00. El horario llegará al número 6 exactamente a las seis en punto. Media hora antes fue la última vez que el minutero pasó por el 6. Para que el horario tarde el doble de tiempo que el minutero en llegar al número seis, es necesario que esa media hora sea el tiempo que el minutero tardó en llegar al seis. Podemos concluir que eran las 5:00. Regresar

Un tren de 200 metros de largo atravesará un túnel de 400 metros de largo. Se sabe que el tren tarda 2 minutos desde el momento en el que entra al túnel hasta el momento en que lo abandona completamente. Si existe otro túnel para el que el tren se demora 1 minuto en atravesarlo a la misma velocidad, ¿cuál es la longitud de este segundo túnel? Respuesta Regresar

Respuesta: 100 metros. Nótese que el tren desde el momento que entra al túnel de 400 metros hasta que sale de el se desplaza 600 metros, ya que al momento de entrar la parte trasera del tren está a 200 metros de la entrada y al momento de salir está exactamente en la salida, por lo que ha recorrido el largo del túnel más el del tren, 600 metros. Esto quiere decir que el desplazamiento del tren es de 300 metros por minuto, por lo que para el segundo túnel se cumple que su longitud más la del tren es 300 metros, por lo que el largo del túnel debe ser 100 metros. Regresar

La estatura promedio de un grupo de quince niños entre los que se encuentra Hugo es 130 centímetros. Si se cambia a Hugo del grupo por David, la nueva estatura promedio del grupo será 132 centímetros. ¿Cuál es la diferencia de estatura entre Hugo y David? Respuesta Regresar

Respuesta: 30 centímetros. Si cambiamos a Hugo por David la suma total de las estaturas de los estudiantes será 132×15 centímetros mientras la suma inicial era tan sólo 132×15 centímetros. De esta forma, el cambio en la suma, que debe ser igual a la diferencia de estaturas, será 132× ×15 = 30 centímetros. Regresar

En una cinta de video se puede grabar a 3 velocidades distintas. Si se graba a velocidad lenta caben 2 horas de video, en la velocidad media caben 4 horas, y en la rápida caben 6 horas. Si en una de estas cintas se tienen grabados un programa de 35 minutos a velocidad lenta, y otro programa de 52 minutos a velocidad media, ¿cuántos minutos más se pueden grabar a velocidad rápida? Respuesta Regresar

Respuesta: 177 minutos. La información del enunciado se puede interpretar como lo siguiente: por cada minuto de grabación lenta se pueden grabar dos minutos en velocidad media o tres minutos en velocidad rápida, con un máximo de 120 minutos en grabación lenta. Ahora, la cinta ya contiene 35 minutos de grabación lenta y 52 minutos de grabación media, lo que equivale a 35 minutos de grabación lenta y otros 26 minutos en el mismo tipo de grabación, para un total de 61 minutos de grabación lenta, por lo que aún restarían 59 minutos de grabación lenta, que a su vez equivalen a 177 minutos de grabación rápida. Regresar

Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si seis años atrás la edad del padre era cinco veces la edad del hijo, determine la edad actual del padre. Respuesta Regresar

Respuesta: 36. Llamemos A a la edad actual del hijo y B la edad actual del padre. Los datos del enunciado se interpretan como B=3A y B-6=5(A-6). Reemplazando el valor de b de la primera ecuación dentro de la segunda se obtiene 2A=24, A=12, por lo que, poniendo este número dentro de la primera ecuación se obtiene B=36, el valor buscado. Regresar

Si x²-x-1 divide a ax³+bx²+1, determine el valor de b. Respuesta Regresar

Respuesta: -2. Vamos a suponer que ax³+bx²+1=(x²-x-1)(px+q). Entonces ax³+bx²+1=px³+(q-p)x²-(p+q)x-q, de donde, mirando los términos independientes, tenemos que q=-1. Ahora, analizando el coeficiente de x, tenemos que p+q=0 de donde p=1. En el coeficiente de x² tenemos q-p=b, y sustituyendo los valores correspondientes, b=-2. Regresar

Los vértices de un cubo están numerados de 1 a 8, de manera que los conjuntos de números correspondientes a los vértices de las seis caras son {1, 2, 6, 7}, {1, 4, 6, 8}, {1, 2, 5, 8}, {2, 3, 5, 7}, {3, 4, 6, 7} y {3, 4, 5, 8}. Hallar el número que tiene el vértice opuesto al vértice que tiene el número 6. Respuesta Regresar

Respuesta: 5. El número del vértice opuesto será aquél número con el que el 6 no comparta ninguna cara. Por inspección se verifica que el único número con esta condición es el 5, por lo que ese es el número buscado. Regresar

Nivel Superior – Problema 1
Se tiene un número de dos dígitos. Si se cambian los dígitos de posición, el número obtenido es 4.5 veces el número original. ¿Cuál es el número original? Respuesta Regresar

Nivel Superior – Respuesta 1
Respuesta: 18. Sea n el número inicial. Supóngase que n tiene A como cifra en las decenas y B como cifra de las unidades. Entonces tenemos que n=10A+B y que 4.5n=10B+A. Multiplicando la primera expresión por 9 y la segunda por 2 se tiene 9n=90A+9B y 9n=20B+2A, de donde 90A+9B=20B+2A. Despejando de aquí se obtiene que B=8A, pero como tanto A como B son dígitos, la única solución es A=1, B=8, de donde el número inicial es 18. Regresar

Pascual estaba organizando una fiesta, para la cual envió invitaciones a sus amigos, de forma que por cada dos hombres invitados hubieran tres mujeres. Sin embargo, en el momento de la fiesta llegaron todos los invitados y un 20% más de personas que no se habían invitado. Además, el número de mujeres presentes era un 30% más que el planeado. ¿En qué porcentaje aumentó el número de hombres? Respuesta Regresar

Respuesta 5%. Si llamamos 3p al número de mujeres invitadas inicialmente a la fiesta, el número de hombres invitados debe ser 2p, y el total de invitados es 5p. En el momento de la fiesta, llegaron en total (39p/10) mujeres, y 6p personas entre hombres y mujeres. Así que el número de hombres presentes en la fiesta era 6p-(39p/10)=(21p/10), y de los cuales (p/10) no fueron invitados. Así que el porcentaje buscado es (100%)×(p/10)/(2p)=5%. Regresar

De 40 compradores, a 12 les gustan las manzanas, a 23 las naranjas, y la cantidad a la que no le gusta ninguna de las frutas es el doble de la cantidad a la que le gustan las dos frutas. ¿A cuántos compradores les gustan las dos frutas? Respuesta Regresar

Respuesta: 5. Llámese x la cantidad de compradores a los que les gustan las dos frutas. La cantidad de compradores a los que les gusta alguna fruta será x ya que los compradores a los que les gustan las dos frutas están contados tanto entre los 12 a quienes les gustan las manzanas como entre los 23 a quienes les gustan las naranjas y por eso se hace necesario restarlos una vez al hacer el conteo. De esta forma el número de personas a las que no les gusta ninguna de las dos frutas es 40-(35-x)=5+x, que debe ser el doble de x por las condiciones del problema, de donde claramente x=5 es la solución. Regresar

Estefanía y Oscar tienen una tradición familiar: Cada navidad ella da a cada una de sus nietas tantos dulces como nietas tiene y él da a cada uno de sus nietos tantos dulces como nietos tiene. Al terminar de repartir, se dan cuenta que en total repartieron 697 dulces. Interesados por la tradición, María Camila y Juan Ignacio deciden imitarlos, dando ella a sus nietas tantos dulces como nietas tiene y él a sus nietos tantos dulces como nietos tiene. Curiosamente ellos también reparten 697 dulces. Si el total de nietos y nietas de Estefanía y Oscar es diferente al total de nietos de María Camila y Juan Ignacio, ¿cuántos nietos tienen los cuatro? Respuesta Regresar

Respuesta: 72. Sean A y B nietas y nietos de Estefanía y Oscar, y sean C y D nietas y nietos de María Camila y Juan Ignacio. Según las condiciones del problema, se tiene que A²+B²=697=C²+D², de donde cada una de las parejas (A, B) y (C, D) debe ser alguna de las siguientes: (24, 11), (11, 24), (21, 16), (16, 21). Ahora, la otra parte del problema nos dice que A+B es diferente de C+D, de donde se puede deducir fácilmente que A+B+C+D= =72 Regresar

Mientras Álex usaba la calculadora se distrajo y cuando quería multiplicar un número por 5 presionó la tecla equivocada y lo dividió por 5. ¿A qué porcentaje del número buscado equivale el número obtenido? Respuesta Regresar

Respuesta: 4%. Supóngase que el número obtenido finalmente es x. Esto quiere decir que el número del que se partió es 5x y el número buscado era entonces 25x. Así, lo que se quiere es saber que porcentaje de 25x corresponde a x. Resolviendo se obtiene que el porcentaje es (100%)×(1/25)=4%. Regresar

Durante un fin de semana, la probabilidad de lluvia en el día sábado es 40% y la probabilidad de lluvia el día domingo es 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva uno o dos días en el fin de semana? Respuesta Regresar

Respuesta: 52%. La probabilidad total de lluvia será la suma de las siguientes posibilidades: Lluvia el sábado y no el domingo (40%×80%), lluvia el domingo y no el sábado (60%×20%) y lluvia los dos días (40%×20%), para un total de 32%+12%+8%=52%. Regresar

Miro las manecillas de mi reloj. A partir de este momento, el horario tardará el triple de tiempo que el minutero en llegar al número seis. ¿Qué hora es? Respuesta Regresar

Respuesta: 5:15. El horario llegará al número 6 exactamente a las seis en punto. Media hora antes fue la última vez que el minutero pasó por el 6. Para que el horario tarde el triple de tiempo que el minutero en llegar al número seis, es necesario que esa media hora sea el doble de tiempo de lo que el minutero tardó en llegar al seis. Así, el minutero tardo 15 minutos en llegar al número seis. Podemos concluir que eran las 5:15. Regresar

Si el radio de un círculo aumenta en 10%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? Respuesta Regresar

Respuesta: 21%. Es conocido que el área de un círculo es igual a πr², donde r es el valor del radio. Así, si el radio pasa de r a 1.1×r, un aumento del 10%, el área pasará de πr² a π(1.1)²r²=1.21πr², un aumento de 21%. Regresar

Información e inscripciones
Las Olimpiadas Colombianas de Matemáticas cuentan con coordinadores en las principales ciudades del país. Para cualquier información, comuníquese a los teléfonos ó en Bogotá (fax ) o con la sede de la Universidad Antonio Nariño más cercana a su ubicación. También es posible consultar información a través de la pagina Web o directamente en la oficina central, Carrera 38 # 58A-77, Piso 1. Regresar

Olimpiadas Colombianas de Matemáticas

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