Métodos de Análisis Ingenieril

Presentación del tema: "Métodos de Análisis Ingenieril"— Transcripción de la presentación:

1 Métodos de Análisis Ingenieril
Raíces de Ecuaciones M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura Gama.fime.uanl.mx/~jdelagar

2 Raíces de Ecuaciones De la ecuación Pero en otros casos

3 Solución de Ecuaciones no lineales
Intervalo Falsa Posición Bisección Gráfica Métodos Abiertos Newton Raphson Secante Todos Interactivos

4 Métodos de Intervalos Se requieren dos valores iniciales. Estos valores deben dar resultados con signo distinto al aplicarlos a la ecuación. Si una raíz de una función real y continua f(x)=0 esta entre dos valores x=xl, x =xu entonces f(xl) * f(xu) < 0. (La función cambia de signo) Insert Fig. 5.1 in here

5 Sin respuesta (no hay raíces)
Sencillo (una raíz) Dos raíces Tres raíces

6 Dos raíces Función discontinua. Requiere otro método

7 Muchas raíces f(x)=sin 10x+cos 3x

8 Método de Bisección Para una ecuación de una variable, f(x)=0
Elegir xl y xu de forma que la raíz de interés quede en medio, revisar si f(xl)*f(xu) <0. Estimar la raíz evaluando f[(xl+xu)/2]. Encontrar la pareja de valores Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]<0, la raíz se encuentra en el intervalo inferior, entonces xu=(xl+xu)/2 e ir al paso 2.

9 Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]>0, la raíz está en el intervalo superior, entonces xl= [(xl+xu)/2, ir al paso 2. Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]=0, entonces la raíz es (xl+xu)/2 y terminamos. Comparar es con ea Si ea< es, detener. De lo contrario repetir el proceso.

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11 Evaluación del Método Ventajas Sencillo Siempre encuentra la raíz
Se puede calcular el número de iteraciones requeridas para obtener un error absoluto. Desventajas Lento Conocer que entre a y b esta la raíz Multiples raíces No se toma en cuenta f(xl) y f(xu), Si f(xl) esta cerca de cero, es probable que la raíz este cerca de xl .

12 ¿Cuántas iteraciones se necesitan?
Longitud inicial Lo=b-a Iteración 1 L1=Lo/2 Iteración 2 L2=Lo/4 Iteración k Lk=Lo/2

13 Si la magnitud absoluta del error es:
y Lo=2, ¿Cuántas iteraciones se requieren para obtener la exactitud requerida en la solución?

14 Método de la Falsa Posición
Si una raíz real esta entre xl y xu de f(x)=0, entonces se puede aproximar la solución haciendo una interpolación lineal entre los puntos [xl, f(xl)] y [xu, f(xu)] para encontrar xr valor que hace l(xr)=0, l(x) es la aproximación lineal de f(x).

15 Procedimiento Encontrar un par de valores de x, xl y xu tales que fl=f(xl) <0 y fu=f(xu) >0. Estimar el valor de la raíz de la siguiente fórmula y evaluar f(xr).

16 Utilizar el nuevo punto para reemplazar uno de los originales manteniendo ambos puntos en lados opuestos del eje x. Si f(xr)<0 entonces xl=xr = > fl=f(xr) Si f(xr)>0 entonces xu=xr = > fu=f(xr) Si f(xr)=0 se a encontrado la raíz

17 Ventajas de este método Más rápido
Revisar si los nuevo xl y xu están tan cerca para declarar convergencia. Si no lo están, regresar al paso 2. Ventajas de este método Más rápido Siempre converge para una sola raíz. Nota: Siempre se debe revisar el valor estimado de la raíz en la ecuación original para validar que f(xr) ≈ 0.